El teorema de Torricelli es un principio de la mecánica de fluidos que estudia el comportamiento de un fluido en un recipiente con un agujero. Por esta razón también se le conoce como principio de Torricelli.
El principio de Torricelli es utilizado en la hidráulica y la fluidodinámica para determinar la velocidad de flujo de un líquido a través de un orificio. En general, la ley de Torricelli puede ser aplicada en diferentes áreas, como la ingeniería civil, la hidrología, la física y la meteorología, entre otras.
Este principio fue enunciado por el físico y matemático italiano Evangelista Torricelli en el siglo XVII.
Definición del teorema de Torricelli
El principio de Torricelli establece que la velocidad de un líquido que fluye por el orificio de un recipiente, es igual a la velocidad que adquiere un cuerpo que cayese libremente desde una altura igual a la distancia desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio.
Las características del fluido para que el teorema sea válido es que el fluido debe ser incompresible, con viscosidad nula y debe estar sometido únicamente a la fuerza gravitatoria.
Este teorema se basa en la ley de conservación de la energía mecánica, que establece que la energía total de un sistema cerrado se conserva. En concreto, es una consecuencia del principio de Bernouilli.
Ecuación de Torricelli
La ecuación de Torricelli describe la velocidad de un fluido que fluye a través de un orificio debido a la diferencia de altura entre el fluido en el recipiente y el orificio de salida. Es una forma derivada de la ley de conservación de la energía, y se expresa de la siguiente manera:
\[
v = \sqrt{2gh}
\]
Donde:
- \( v \) es la velocidad de salida del fluido (en metros por segundo).
- \( g \) es la aceleración debida a la gravedad (aproximadamente \( 9.81 \, \text{m/s}^2 \)).
- \( h \) es la altura del fluido en el recipiente sobre el nivel del orificio de salida (en metros).
Explicación:
- El principio de Torricelli establece que la velocidad con la que un fluido abandona un recipiente es equivalente a la velocidad que tendría un objeto que cayera libremente desde una altura h (debido a la acción de la gravedad).
- La ecuación se basa en la conversión de la energía potencial del fluido (debido a su altura) en energía cinética (debido a la velocidad de salida).
Esta ecuación es válida bajo el supuesto de que el flujo es ideal, sin pérdidas por fricción u otros factores complicantes.
Ejemplos del principio de Torricelli
El principio de Torricelli se puede observar en una amplia variedad de situaciones prácticas. A continuación se presentan algunos ejemplos:
Tubo de Pitot
El tubo de Pitot es un instrumento utilizado en la medición de la velocidad de fluidos, como el aire en aeronaves o líquidos en tuberías.
Consiste en dos tubos: uno mide la presión estática (la presión que el fluido ejerce de forma uniforme), mientras que el otro mide la presión total (que incluye la presión dinámica debido al movimiento del fluido). La diferencia entre estas dos presiones se utiliza para calcular la velocidad del fluido, aplicando el principio de Torricelli. Este dispositivo se utiliza en aeronáutica para conocer la velocidad del avión y también se usa en ingeniería para evaluar el flujo en sistemas hidráulicos.
Fuentes ornamentales y chorros de agua
Las fuentes de agua, especialmente las ornamentales, utilizan el principio de Torricelli para generar chorros de agua a través de una boquilla.
La velocidad del agua que emerge de la fuente está directamente relacionada con la altura del agua en el depósito que la alimenta. Cuanto mayor sea la altura del agua, mayor será la presión en la base, lo que incrementa la velocidad del flujo a través de la boquilla.
Este principio se utiliza no solo en fuentes decorativas, sino también en sistemas de riego y en fenómenos naturales como los géiseres, donde la presión del agua caliente empuja el líquido hacia arriba.
Llenado de botellas y recipientes
Cuando se vierte un líquido desde un recipiente grande hacia una botella o vaso, el flujo de líquido se ve influenciado por la diferencia de altura entre los niveles de líquido en ambos recipientes.
Inicialmente, el flujo es rápido debido a la alta presión generada por el líquido en el recipiente grande. Sin embargo, a medida que el nivel de líquido en el recipiente grande disminuye, la presión se reduce, lo que hace que el flujo se vuelva más lento. Este comportamiento es explicable por el principio de Torricelli, que indica que la velocidad del fluido en el orificio depende de la altura de la columna de líquido.
Drenaje de depósitos y tanques
El principio de Torricelli también se aplica al drenaje de líquidos de tanques o depósitos.
Cuando un líquido fluye desde un tanque a través de una válvula o un orificio en la parte inferior, la velocidad con la que el líquido sale está determinada por la diferencia de altura entre el nivel del líquido en el tanque y la salida. Cuanto mayor sea esta diferencia de altura, mayor será la velocidad del flujo, lo que permite vaciar el tanque más rápidamente.
Este fenómeno se observa en sistemas como cisternas de agua, torres de almacenamiento y sistemas de drenaje.
Orificios en recipientes perforados
Cuando un recipiente lleno de agua tiene un orificio en su pared lateral, el agua comienza a fluir hacia fuera debido a la presión interna que ejerce el líquido en el recipiente. Según el principio de Torricelli, la velocidad con la que el agua sale del orificio depende de la altura del nivel de agua en el recipiente respecto al orificio.
A mayor altura, mayor será la velocidad del agua al salir. Este fenómeno puede observarse en experimentos de física para ilustrar cómo la presión y la gravedad influyen en el flujo de líquidos, y se da en situaciones cotidianas como cuando un recipiente de agua tiene un pequeño agujero en su costado.
Experimento de Torricelli
El experimento de Torricelli, realizado en 1643 por el físico y matemático Evangelista Torricelli, demostró la existencia de la presión atmosférica y fue clave para la invención del barómetro.
Descripción del experimento
Torricelli llenó un tubo de vidrio de aproximadamente un metro de altura con mercurio y lo tapó con su dedo. Luego, invirtió el tubo y lo sumergió en un recipiente también lleno de mercurio.
Al retirar el dedo, observó que el nivel del mercurio en el tubo descendía, pero no se vaciaba por completo, quedando aproximadamente 76 cm de altura de mercurio dentro del tubo.
Conclusión
- Torricelli dedujo que el mercurio no caía completamente porque la presión atmosférica empujaba el mercurio dentro del recipiente, equilibrando su peso dentro del tubo.
- En la parte superior del tubo quedó un espacio vacío (llamado "vacío torricelliano"), lo que fue una de las primeras pruebas experimentales del vacío en la naturaleza.
- Determinó que la presión de la atmósfera podía medirse por la altura del mercurio en el tubo, estableciendo la base del primer barómetro.
Este experimento permitió comprender mejor la presión del aire y sentó las bases para el desarrollo de la meteorología y la física de fluidos.
Experimento práctico con una botella del principio de Torricelli
A continuación mostramos un experimento muy sencillo para ilustrar el funcionamiento del teorema de Torricelli que nos puede servir también para explicar el método científico. Este experimento se puede hacer con materiales que se pueden encontrar en casa.
Materiales:
- Una botella de plástico vacía
- Un clavo o aguja afilada
- Agua
Instrucciones:
- Llena la botella de plástico con agua hasta la mitad.
- Perfora un pequeño agujero en cerca de la mitad de la botella con el clavo o la aguja.
- Coloca un recipiente debajo de la botella para recoger el agua que sale por el agujero.
- Abre la tapa de la botella para permitir que el aire entre y el agua fluya suavemente.
Observaciones:
Cuando se hace el agujero en la botella, el agua comienza a fluir a través del agujero. La velocidad del agua disminuye a medida que más agua sale de la botella. Las partículas de agua que salen del agujero describen la trayectoria típica de un tiro parabólico con una velocidad inicial horizontal.
Sabiendo la altura del agujero respecto a la superficie del recipiente donde cae el agua y la distancia horizontal del agugero al punto donde cae el agua, podemos calcular la velocidad de salida del agua en cualquier instante.